向量的数量积(平面向量的数量积是怎么一回事)
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2023-11-24
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1. 向量的数量积,平面向量的数量积是怎么一回事?
两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积。 两向量α与β的数量积:α·β=|α|*|β|cosθ;其中|α|、|β|是两向量的模,θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π)。 若有坐标α(x1,y1,z1) ;β(x2,y2,z2),那么 α·β=x1x2+y1y2+z1z2; |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2);|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)。 因此,用数量积可以求出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|。 已知两个向量A和B,它们的夹角为C,则A的模乘以B的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内积) 即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b("·“不可省略,若用“×”则成了向量积)
2. 向量的数量积和两个向量相乘的意义有什么不同?
一、指代不同1、数量积:是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。
2、向量积:是一种在向量空间中向量的二元运算。二、几何意义不同1、数量积:在点积运算中,第一个向量投影到第二个向量上(这里,向量的顺序是不重要的,点积运算是可交换的),然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。
这样,这个分数一定是小于等于1的,可以简单地转化成一个角度值。
2、向量积:叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时,所构成平行四边形的面积。
据此有:混合积[abc]=(a×b)·c可以得到以a,b,c为棱的平行六面体的体积。三、应用不同1、数量积:平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念,利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题,例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等。
2、向量积:在物理学光学和计算机图形学中,叉积被用于求物体光照相关问题。求解光照的核心在于求出物体表面法线,而叉积运算保证了只要已知物体表面的两个非平行矢量(或者不在同一直线的三个点),就可依靠叉积求得法线
3. 向量的向量积与数量积有什么区别?
一、指代不同
1、数量积:是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。
2、向量积:是一种在向量空间中向量的二元运算。
二、几何意义不同
1、数量积:在点积运算中,第一个向量投影到第二个向量上(这里,向量的顺序是不重要的,点积运算是可交换的),然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样,这个分数一定是小于等于1的,可以简单地转化成一个角度值。
2、向量积:叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时,所构成平行四边形的面积。据此有:混合积[abc]=(a×b)·c可以得到以a,b,c为棱的平行六面体的体积。
三、应用不同
1、数量积:平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念,利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题,例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等。
2、向量积:在物理学光学和计算机图形学中,叉积被用于求物体光照相关问题。求解光照的核心在于求出物体表面法线,而叉积运算保证了只要已知物体表面的两个非平行矢量(或者不在同一直线的三个点),就可依靠叉积求得法线。
4. 高中数学向量数量积的运算律的推导?
两个向量的数量积的定义为a∙b=|a||b|cosθ,其中θ为两个向量之间的夹角,两个向量数量积的结果是一个标量(只有大小、没有方向)。其含义为向量a的长度|a|与向量b在a方向的投影|b|cosθ的乘积。
角θ的取值范围为闭区间[0,π],当θ=0时,a、b共线且方向相同,其数量积为两者的模的乘积;当θ=π时,a、b共线且方向相反,其数量积为两者的模的乘积再乘-1;当θ=π/2时,a、b互相垂直,数量积的结果为0;当0<θ<π/2时,cosθ为正,数量积的结果为正数;当π/2<θ<π时,cosθ为负,数量积的结果为负数。
5. 向量的数量积公式推导过程?
已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1·x2+y1·y2。
向量的数量积公式:a*b=|a||b|cosθ,a,b表示向量,θ表示向量a,b共起点时的夹角,很明显向量的数量积表示数,不是向量。一个向量和另个向量在这个向量上的投影的乘积,前提始位置要相同。
相关介绍:
向量(矢量)这个术语作为现代数学-物理学中的一个重要概念,首先是由英国数学家哈密顿使用的。向量的名词虽来自哈密顿,但向量作为一条有向线段的思想却由来已久。向量理论的起源与发展主要有三条线索:物理学中的速度和力的平行四边形法则、位置几何、复数的几何表示。
物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。18世纪中叶之后,欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作,直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。同时,向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一,有着深刻的几何背景。它始于莱布尼兹的位置几何。
现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。18世纪,由于在一些数学的推导中用到复数,复数的几何表示成为人们探讨的热点。哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。随后,吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统,最终被广为接受。
6. 平面向量数量积的几何意义?
向量数量积的几何意义:一个向量在另一个向量上的投影。定义
两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积
两向量α与β的数量积α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是两向量的模θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π)
若有坐标α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那么 α·β=x1x2+y1y2+z1z2 |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)
把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影
因此用数量积可以求出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|
已知两个向量A和B,它们的夹角为C,则A的模乘以B的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内积、点积。)
即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b"·不可省略若用×则成了向量积

扩展内容:
向量积性质
几何意义及其运用
叉积的长度 |a×b| 可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时,所构成平行四边形的面积。据此有:混合积 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a,b,c为棱的平行六面体的体积。 [1]
代数规则
1.反交换律:a×b= -b×a
2.加法的分配律:a× (b+c) =a×b+a×c
3.与标量乘法兼容:(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)
4.不满足结合律,但满足雅可比恒等式:a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0
5.分配律,线性性和雅可比恒等式别表明:具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。
6.两个非零向量a和b平行,当且仅当a×b=0。 [1]
拉格朗日公式
这是一个著名的公式,而且非常有用:
(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)
a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),
证明过程如下:
二重向量叉乘化简公式及证明
可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是,这个公式对微分算子不成立。
这里给出一个和梯度相关的一个情形:
这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。
另一个有用的拉格朗日恒等式是:
这是一个在四元数代数中范数乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。 [2]
矩阵形式
给定直角坐标系的单位向量i,j,k满足下列等式:
i×j=k;
j×k=i ;
k×i=j ;
通过这些规则,两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来,不需要考虑任何角度:设
a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k;
b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ;
则a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]。
叉积也可以用四元数来表示。注意到上述i,j,k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言,若将向量 [a1, a2, a3] 表示成四元数 a1i+ a2j+ a3k,两个向量的叉积可以这样计算:计算两个四元数的乘积得到一个四元数,并将这个四元数的实部去掉,即为结果。更多关于四元数乘法,向量运算及其几何意义请参看四元数(空间旋转)。 [2]
高维情形
七维向量的叉积可以通过八元数得到,与上述的四元数方法相同。
七维叉积具有与三维叉积相似的性质:
双线性性:x× (ay+ bz) = ax×y+ bx×z;(ay+ bz) ×x= ay×x+ bz×x;
反交换律:x×y+y×x= 0;
同时与 x 和 y 垂直:x· (x×y) =y· (x×y) = 0;
拉格朗日恒等式:|x×y|² = |x|² |y|² - (x·y)²;
不同于三维情形,它并不满足雅可比恒等式:x× (y×z) +y× (z×x) +z× (x×y) ≠ 0。
7. 两个向量数量积为什么等于坐标乘积和?
① 平面两向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
② 平面内两点间的距离公式: 如果表示向量
的有向线段的起点和终点的坐标分别为
、
,那么
③ 向量垂直的判定: 设
,
,则
④ 两向量夹角的余弦(
) cosq =
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1. 向量的数量积,平面向量的数量积是怎么一回事?
两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积。 两向量α与β的数量积:α·β=|α|*|β|cosθ;其中|α|、|β|是两向量的模,θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π)。 若有坐标α(x1,y1,z1) ;β(x2,y2,z2),那么 α·β=x1x2+y1y2+z1z2; |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2);|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)。 因此,用数量积可以求出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|。 已知两个向量A和B,它们的夹角为C,则A的模乘以B的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内积) 即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b("·“不可省略,若用“×”则成了向量积)
2. 向量的数量积和两个向量相乘的意义有什么不同?
一、指代不同1、数量积:是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。
2、向量积:是一种在向量空间中向量的二元运算。二、几何意义不同1、数量积:在点积运算中,第一个向量投影到第二个向量上(这里,向量的顺序是不重要的,点积运算是可交换的),然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。
这样,这个分数一定是小于等于1的,可以简单地转化成一个角度值。
2、向量积:叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时,所构成平行四边形的面积。
据此有:混合积[abc]=(a×b)·c可以得到以a,b,c为棱的平行六面体的体积。三、应用不同1、数量积:平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念,利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题,例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等。
2、向量积:在物理学光学和计算机图形学中,叉积被用于求物体光照相关问题。求解光照的核心在于求出物体表面法线,而叉积运算保证了只要已知物体表面的两个非平行矢量(或者不在同一直线的三个点),就可依靠叉积求得法线
3. 向量的向量积与数量积有什么区别?
一、指代不同
1、数量积:是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。
2、向量积:是一种在向量空间中向量的二元运算。
二、几何意义不同
1、数量积:在点积运算中,第一个向量投影到第二个向量上(这里,向量的顺序是不重要的,点积运算是可交换的),然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样,这个分数一定是小于等于1的,可以简单地转化成一个角度值。
2、向量积:叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时,所构成平行四边形的面积。据此有:混合积[abc]=(a×b)·c可以得到以a,b,c为棱的平行六面体的体积。
三、应用不同
1、数量积:平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念,利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题,例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等。
2、向量积:在物理学光学和计算机图形学中,叉积被用于求物体光照相关问题。求解光照的核心在于求出物体表面法线,而叉积运算保证了只要已知物体表面的两个非平行矢量(或者不在同一直线的三个点),就可依靠叉积求得法线。
4. 高中数学向量数量积的运算律的推导?
两个向量的数量积的定义为a∙b=|a||b|cosθ,其中θ为两个向量之间的夹角,两个向量数量积的结果是一个标量(只有大小、没有方向)。其含义为向量a的长度|a|与向量b在a方向的投影|b|cosθ的乘积。
角θ的取值范围为闭区间[0,π],当θ=0时,a、b共线且方向相同,其数量积为两者的模的乘积;当θ=π时,a、b共线且方向相反,其数量积为两者的模的乘积再乘-1;当θ=π/2时,a、b互相垂直,数量积的结果为0;当0<θ<π/2时,cosθ为正,数量积的结果为正数;当π/2<θ<π时,cosθ为负,数量积的结果为负数。
5. 向量的数量积公式推导过程?
已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1·x2+y1·y2。
向量的数量积公式:a*b=|a||b|cosθ,a,b表示向量,θ表示向量a,b共起点时的夹角,很明显向量的数量积表示数,不是向量。一个向量和另个向量在这个向量上的投影的乘积,前提始位置要相同。
相关介绍:
向量(矢量)这个术语作为现代数学-物理学中的一个重要概念,首先是由英国数学家哈密顿使用的。向量的名词虽来自哈密顿,但向量作为一条有向线段的思想却由来已久。向量理论的起源与发展主要有三条线索:物理学中的速度和力的平行四边形法则、位置几何、复数的几何表示。
物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。18世纪中叶之后,欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作,直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。同时,向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一,有着深刻的几何背景。它始于莱布尼兹的位置几何。
现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。18世纪,由于在一些数学的推导中用到复数,复数的几何表示成为人们探讨的热点。哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。随后,吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统,最终被广为接受。
6. 平面向量数量积的几何意义?
向量数量积的几何意义:一个向量在另一个向量上的投影。定义
两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积
两向量α与β的数量积α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是两向量的模θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π)
若有坐标α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那么 α·β=x1x2+y1y2+z1z2 |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)
把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影
因此用数量积可以求出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|
已知两个向量A和B,它们的夹角为C,则A的模乘以B的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内积、点积。)
即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b"·不可省略若用×则成了向量积

扩展内容:
向量积性质
几何意义及其运用
叉积的长度 |a×b| 可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时,所构成平行四边形的面积。据此有:混合积 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a,b,c为棱的平行六面体的体积。 [1]
代数规则
1.反交换律:a×b= -b×a
2.加法的分配律:a× (b+c) =a×b+a×c
3.与标量乘法兼容:(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)
4.不满足结合律,但满足雅可比恒等式:a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0
5.分配律,线性性和雅可比恒等式别表明:具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。
6.两个非零向量a和b平行,当且仅当a×b=0。 [1]
拉格朗日公式
这是一个著名的公式,而且非常有用:
(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)
a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),
证明过程如下:
二重向量叉乘化简公式及证明
可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是,这个公式对微分算子不成立。
这里给出一个和梯度相关的一个情形:
这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。
另一个有用的拉格朗日恒等式是:
这是一个在四元数代数中范数乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。 [2]
矩阵形式
给定直角坐标系的单位向量i,j,k满足下列等式:
i×j=k;
j×k=i ;
k×i=j ;
通过这些规则,两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来,不需要考虑任何角度:设
a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k;
b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ;
则a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]。
叉积也可以用四元数来表示。注意到上述i,j,k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言,若将向量 [a1, a2, a3] 表示成四元数 a1i+ a2j+ a3k,两个向量的叉积可以这样计算:计算两个四元数的乘积得到一个四元数,并将这个四元数的实部去掉,即为结果。更多关于四元数乘法,向量运算及其几何意义请参看四元数(空间旋转)。 [2]
高维情形
七维向量的叉积可以通过八元数得到,与上述的四元数方法相同。
七维叉积具有与三维叉积相似的性质:
双线性性:x× (ay+ bz) = ax×y+ bx×z;(ay+ bz) ×x= ay×x+ bz×x;
反交换律:x×y+y×x= 0;
同时与 x 和 y 垂直:x· (x×y) =y· (x×y) = 0;
拉格朗日恒等式:|x×y|² = |x|² |y|² - (x·y)²;
不同于三维情形,它并不满足雅可比恒等式:x× (y×z) +y× (z×x) +z× (x×y) ≠ 0。
7. 两个向量数量积为什么等于坐标乘积和?
① 平面两向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
② 平面内两点间的距离公式: 如果表示向量
的有向线段的起点和终点的坐标分别为
、
,那么
③ 向量垂直的判定: 设
,
,则
④ 两向量夹角的余弦(
) cosq =
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